نانولوله‏ های کربنی از نگاه اعداد و ارقام

محققین همواره برای یافتن پاسخ سوالات خود به بررسی پدیده‌ها می‌پردازند. البته اين کار را با روش‌‌های مختلفی انجام می‌دهند. یک روش برای یافتن پاسخ سوالات، مشاهده‌ی پديده‌های طبيعی و برقراری ارتباط بین دانسته‌های قبلی با مشاهدات جدید است. به اين روش، روش تجربی می‌گويند. به عنوان مثال، کارهای آزمایشگاهی که برای بررسی تاثیر یک محلول بر روی یک فلز انجام می‌شود، نمونه‌ای از يک روش تجربی است. روش دیگری که در کنار روش تجربی مورد استفاده قرار می‌گیرد، روش محاسباتی است. دانشمندان در اين روش سعی می‌کنند بین پدیده‌ها و ویژگی‌هايي که مشاهده کرده‌اند، روابط منطقی ايجاد کنند و سپس اين روابط منطقی را به شکل فرمول‌ها و معادله‌های قابل فهم بيان می‌کنند. مثلا در مشاهده‌ی پدیده‌ی اصطکاک، مي‌توان رفتار جسم متحرك را روي سطح با استفاده از چند رابطه رياضی بيان كرد. این همان معادلاتی است که شما در کتاب‌های فیزیک و شیمی مدرسه با آن مواجه شده‌ايد. در بيان مزايای روش‌های محاسباتی به این گفته اکتفا می‌کنیم که روش‌های محاسباتی یکی از روش‌های مناسب و بسيار کم هزینه‏ (که بيشتر به تعدادی از سلول‌های خاکستری مغز نیاز دارند!) برای بررسی و مطالعه‌ی پدیده‌ها و پیش‌بینی رفتار و خواص مواد و سیستم‌ها هستند.

در این مقاله به بررسی محاسبات ساده پیرامون ساختار نانولوله‌های کربنی تک دیواره و چند دیواره می‌پردازیم. پیش نیاز انجام این محاسبات، شناخت مقدماتی از شکل ظاهری نانولوله‌های کربنی است.

1- داده‌های مورد نياز برای انجام محاسبات

تاکنون مطالعات تجربی زیادی در مورد نانولوله‌های کربنی چند دیواره انجام شده است. برای این کار از میکروسکوپ‌های الکترونی کمک بسياری گرفته‌اند. دانشمندان معتقدند که فاصله‌ی بین دیواره‌های متعدد این نوع از نانولوله‌ها ثابت نيست و مقادير مختلفی دارد. اين مقدار می‌تواند کمی بیشتر از فاصله‌ی بین لایه‌های توده گرافیت، 3.354 آنگستروم، تا حدود 3.6 آنگستروم ‏باشد. فاصله‌ی بین اتم‌های کربن در حالت صفحه‌ای (فاصله پیوند C-C) نيز تقریبا برابر با 1.42 آنگستروم است. با توجه به زوایای پیوندهای کوالانس C-C در صفحه‌ی  گرافن، می‌توان بقیه‌ی  فواصل مورد نیاز برای محاسبات را به دست آورد.

2- شعاع نانولوله‌های کربنی
شعاع نانولوله‌های کربنی، همانطور که از نام آنها بر می‌آید، در محدوده نانومتر قرار دارد. با توجه به شکل ظاهری نانولوله‌ها می‌توان بر حسب مولفه‌های کایرال، روابطی را برای محاسبه شعاع آنها به دست آورد. همانطور که در مقاله‌های قبلی ديديد، بردار کایرال دقیقا بر محیط نانولوله منطبق است، بنابراین طول بردار کایرال برابر با محیط نانولوله است. البته باید به اين نکته‏ توجه کنیم که محیط یک نانولوله دقیقا به شکل دایره نیست، بلکه یک چند ضلعی منتظم است (زیرا نمی‌توان برای پیوندهای کوالانس انحناء قائل شد). ما در اینجا فرض می‌کنيم که محیط نانولوله دایره‌ای شکل است تا محاسبات را راحت‌تر انجام دهیم.
در هندسه‌ی مسطحه می‌توانيم طول یک ضلع از مثلث را بر حسب دو ضلع دیگر و با دانستن زاویه‌ی بین آنها محاسبه کنيم (رابطه 1). برای تحقیق درستی رابطه (1)، کافیست رابطه‌ی فیثاغورث را برای مثلث ABD بنویسید. به عنوان تمرین هندسه، این موضوع را با توجه به شکل 1 اثبات نمایید.

شکل 1- روابط ميان اضلاع يک مثلث

اکنون به شکل 2 توجه نمایید. همانطور که می‌بينيد با استفاده از رابطه‌ی 1، می‌توانيم اندازه‌ی بردار کایرال را محاسبه کنيم (رابطه (2)). در اين رابطه A نشان‌دهنده طول محیط نانولوله و a0 برابر با طول پیوند کوالانس C-C (معادل با مقدار 1.42 انگستروم) است.

.

شکل 2- ارتباط طول بردار کايرال با طول بردارهای m و n

حالا با توجه به ‏رابطه‌ی  ميان محیط و شعاع دایره (A=2πr)، می‌توانيم شعاع نانولوله را محاسبه کنيم:

رابطه (3) را می‌توان برای حالت‌های خاص ساده کرد. برای نانولوله‌ی آرمچیر که m=n است، رابطه‌ی (4) و برای نانولوله‌ی زیگزاگ که n=0 است، رابطه‌ی (5) به‌دست می‌آيد. واحد اندازه‌گيری شعاع در اين روابط، آنگستروم است.

3- زاویه‌ی کایرال در نانولوله‌های کربنی
در مطالعه نانولوله‌های کربنی، زاویه‌ی کایرال از اهمیت بالایی برخوردار است، زیرا مشخص کننده‌ی مولفه‌های کایرال نانولوله است. در ابتدا یادآوری می‌کنیم که در اینجا برای اجتناب از اشتباه و با توجه به مقاله‌ی قبلی، شرط m≥n را در نظر می‌گیریم. برای به دست آوردن زاویه‌ی بین بردار کایرال و محور افقی (θ)، اين ضلع را روی محورهای افقی و عمودی تصویر می‌کنيم. در شکل (3) اين محورها با نقطه چین مشخص شده‌اند.

شکل 3- تصوير بردار کايرال روی محورهای افقی و عمودی

با تصویر کردن بردار کايرال، بر خط‌ چین عمودی خواهیم داشت:

با در نظر گرفتن رابطه‌ی  2 و این نکته که d=2 πr است، خواهیم داشت:

با کمک رابطه (7) می‌توانیم مقدار θ را به دست بياوریم. علاوه بر اين، با تصویر کردن بردار کايرال بر خط چین افقی ‏می‌توان نوشت:

با تقسیم رابطه‌ی 6 بر رابطه‌ی 8 خواهیم داشت:

در صورتیکه شرط m≥n را رعایت نکنيم به جای مقدار tan θ، مقدار tan θ-60 به دست می‌آید. می‌توانید این موضوع را با توجه به صفحه‌ی مختصات گرافنی تحقیق کنید. اگر دقت کنيد، زاویه‌ی کایرال تمام نانولوله‌های زیگزاگ با هم برابر است. این موضوع در مورد نانولوله‌های آرمچیر هم صادق است. در واقع زاویه‌ی کایرال همانطور که از نامش پیداست، بدون در نظر گرفتن قطر نانولوله، تنها میزان چرخش ردیف اتم‌های کربن در راستای محور نانولوله را نشان می‌دهد.

4- ارتباط بین مولفه‌های کایرال لوله‌ی داخلی و خارجی نانولوله‌های کربنی دو دیواره
همانطور که در مقالات قبلی اشاره شد، نانولوله‌های کربنی دودیواره در واقع دو نانولوله‌ی تک دیواره‌اند که درون یکدیگر قرار گرفته‌اند. این نانولوله‌ها می‌توانند زاویه‌ی کایرال یکسان یا متفاوتی داشته باشند. در صورتی‌که فرض کنیم زاویه‌ی کایرال نانولوله‌های داخل یک‏دیگر با هم برابر باشد، می‌توانیم ارتباط بین مولفه‌های کایرال آنها را به راحتی مشخص‌ نماییم. در اینجا این ارتباط را برای نانولوله‌های کربنی زیگزاگ و آرمچیر توضیح می‌دهیم. کلید طلایی حل این مساله، توجه به این نکته است که فاصله‌ی بین دو دیواره‌ی یک نانولوله که در مجاورت یکدیگر قرار گرفته‌ا‌ند، مقداری بین 3.354 تا 3.6 آنگستروم است. این فاصله برابر با اختلاف بین شعاع دو لوله است. با دانستن این نکته، قادر به یافتن ارتباط بین مولفه‌های کایرال دو لوله خواهیم بود. برای اين کار از روابط 3 و 4 استفاده می‌کنیم.
برای نانولوله‌ی آرمچیر رابطه‌ی 3 برقرار است. بنابراين اختلاف شعاع دو نانولوله‌ی آرمچیر را می‌توان بر حسب رابطه (10) محاسبه کرد.

در اینجا n1 عدد مربوط به مولفه‌ی کایرال نانولوله‌ی خارجی و n2 عدد مربوط به مولفه‌ی کایرال بردار داخلی است، بنابراین n1>n2 است. از طرف دیگر می‏دانیم که فاصله‌ی بین دو دیواره‌ی یک نانولوله، مقداری بین 3.354 تا 3.6 آنگستروم است.

و از آنجایی‏که می‌دانیم :

بنابراین نتیجه می‌گیریم که:

از این دسته نانولوله‌ها می‌توان به مدل‌های (10و10)@(5و5)، (11و11)@(6و6) و همچنین (12و12)@(7و7) اشاره کرد.

برای نانولوله‌ی زيگزاگ رابطه‌ی 4 برقرار است. بنابراين اختلاف شعاع دو نانولوله‌ی زيگزاگ را می‌توان بر حسب رابطه (12) محاسبه کرد.

در اینجا n1 عدد مربوط به مولفه‌ی کایرال نانولوله‌ی خارجی و n2 عدد مربوط به مولفه‌ی کایرال بردار داخلی است. بنابراین n1>n2 است و چون می‏دانیم که فاصله‌ی بین دو دیواره‌ی یک نانولوله، مقداری بین 3.354 تا 3.6 آنگستروم دارد، می‌توانيم بگوييم:

و از آنجایی‏که می‌دانیم :

بنابراین نتیجه می‌گیریم  که:

از این دسته نانولوله‌ها می‌توان به مدل‌های (0و17)@(0و8)، (0و18)@(0و9) و همچنین (0و19)@(0و10) اشاره نمود.

این محاسبات ساده نشان می‌دهند که مولفه‌های کایرال دیواره‌های داخلی و خارجی یک نانولوله‌ی کربنی دو دیواره از الگوی مشخصی پیروی کرده و ارتباط مشخصی با یکدیگر دارند. در اینجا تنها دو گروه "کایرال در کایرال" و "زیگزاگ در زیگزاگ" را بررسی کردیم. می‌توان حالت‌های دیگر را نیز بررسی نمود، اما محاسبات دشوارتری مورد نیاز خواهد بود. از نانولوله‌های کربنی دودیواره‌ی "آرمچیر در زیگزاگ" می‌توان به (0و19)@(6و6)، (0و21)@(7و7) و همچنین (0و23)@(8و8) و از نانولوله‌های کربنی دودیواره‌ی "زیگزاگ در آرمچیر" می‌توان به (11و11)@(0و10) و همچنین (12و12)@(0و12) اشاره کرد. به عنوان تمرین، درست بودن این نانولوله‌ها را تحقیق کنید.

این مقاله را در سایت باشگاه نانو هم می توانید مطالعه کنید